‏‏کاربــرد‏های قضایای نقطه ثابت در نظریه زیرفضاهای پــایا‎‎‏ ‎

وجود زیرفضاهای پــایا‏، نسبت به خانواده ای از عملگرهای کراندار روی فضای هیلبرت جدائی پذیر با‎‎ بعد‎‎ نامتناهی‏، را مسئله زیرفضاهای پــایا گوییم که یک مسئله بــاز در نظریه عملگرها می باشــد. تلاش برای حل این مسئله‏، نظریه عملگرها را در بحث وجود زیرفضاهای پــایا به چالــش و تکاپو در آورده است‏. در این راستا‏، قضایای نقطه ثابت، به‎ عنوان ‎‏یک ابزار کلیدی در این تلاش نقش به سزائی بر عهده داشته است. اهمیت این قضایا از دیرباز تا امروز، در کاربردهایش می باشــد که یکی از کاربردهای آن‏، حل برخی مسائل پیرامون بحث وجود زیرفضاهای پــایا است که محتوای این پژوهش‏، بیان این کاربرد است. در این تحقیق روی آن قسمت هایی از سیر تکاملی حل مسئله مذکور‏، متمرکز می شویم که در بیان راه کار‏، مستقیماً از قضایای نقطه ثابت استفاده شده است. اثبات وجود زیرفضاهای پــایا تحت هر عضو یک زیرجبر از جبر عملگرهای کراندار روی فضای باناخ که شامل عملگرهای فشرده می باشد‏، یکی از این موارد است که به آن می پردازیم. سپس روی وجود زیرفضای پــایا تحت عملگرهای اساساً نرمال تمرکز می کنیم. در ادامه قضیه برنساید که دلالت بر وجود زیرفضاهای پــایا غیربدیهی تحت یک عملگر کراندار روی فضای ‏باناخ با بعد متناهی دارد را به فضاهای هیلبرت‏، باناخ و شبکه باناخ تعمیم می دهیم. همچنین می بینیم که حل معادله عملگری ریکاتی ارتباط مستقیم با وجود زیرفضاهای پایا تحت عملگرهای ماتریسی روی فضای کرین دارد که در این تحقیق به آن نیز پرداخته ایم.